[定理1] (論理的帰結)
G1, ・・・, Gn と式 H が与えられたとき，H が
G1, ・・・, Gn の論理的帰結であるための必要十分
条件は，((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H ) が恒真である
ことである．
[証明]
まずH が G1, ・・・, Gn からの論理的帰結であ
るとする．そうすれば論理的帰結の定義から，任意の
解釈 IにおいてG1, ・・・, Gn が真であれば H
はI で真である．したがって，
((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H )
が I で真となる．I で G1, ・・・, Gn のいずれか
が偽である場合には，(G1 ∧ ・・・ ∧Gn) が偽とな
り，H の真偽にかかわらず ((G1 ∧ ・・・ ∧Gn)
→ H ) は I で真となる．したがって，任意の解釈 I において、
((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H )
は真となる．すなわち，これは恒真論理式である．
[必要条件の証明終わり]
逆に，((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H )が恒真であ
ると仮定しよう．すると (G1 ∧ ・・・ ∧Gn) が解釈
I で真であれば，H も真でなければならない．すなわちこれは H が
G1, ・・・, Gn からの論理的帰結であることを意味
する． [十分条件の証明終わり]
こうして論理式 H が G1, ・・・, Gn からの
論理的帰結であるというのと，((G1 ∧ ・・・ ∧Gn)
→ H) が恒真であるということが同値であることがわかる．
こうして定理が証明された．(q.e.d.)
(quod erat demonstrandum = which was to be proved)
[定理2] (論理的帰結)
[定理2] (論理的帰結)
G1, ・・・, Gn と式 H が与えられたとき，H が
G1, ・・・, Gn の論理的帰結であるための必要十分
条件は，((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) ∧ ¬H ) が恒偽である
ことである．
[証明]
含意式((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H )の否定をと
ると
¬((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H )
= ¬(¬(G1 ∧ ・・・ ∧Gn) ∨ H)
= (G1 ∧ ・・・ ∧Gn) ∧¬H)
となるから，((G1 ∧ ・・・ ∧Gn) → H )が恒真で
あるということと，(G1 ∧ ・・・ ∧Gn) ∧¬H)が恒
偽であるということが同値であることがわかる．
Return