融合原理に関する定理の証明

[定理] (融合原理)


[定理] (融合原理と論理的帰結) 節C₁，C₂に対して，C を C₁ と C₂ の融合節とすると，C は C₁ と C₂ の 論理的帰結である．

[証明]

一般性を失うことなく，C₁ = L ∨C'₁， C₂ = ¬L ∨C'₂ と書ける．ただし，C'₁と C'₂はリテラルの選言である．[C₁]_I = [C₂]_I = T となる任意の解釈 I を考えてみる． そのような I に対して，常に[C]_I = T であることを導け ればよい．

解釈 I においては [L]_I はT かF のいずれか である．[L]_I = F とすれば，C'₁ は空ではな く(つまり少なくとも一つのリテラルを持ち)，[C'₁]_I = T でなければならない．( なぜなら， C'₁ が空であるか，[C'₁]_I= F な らば[C₁]_I= Fとなってしまい，仮定に反する からである)． すると，[C]_I = [C'₁ ∨ C'₂]_I = T であることになる．

　

一方，[L]_I = T の時も，同様に [C'₂]_I = T でなければならず，ゆえに [C]_I = T であることが示せる．

つまり[C₁]_I = [C₂]_I = T のときに必ず [C]_I = T であり，C が C₁とC₂の論理的帰結であることが示された．(q.e.d.)

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