ベイズネットワーク(信念ネットワーク)
Baysian (Belief) Network

基本的な考え方


ベイズ規則に基づく不確実な情報の表現と確率推論の枠組み．

一般には，条件付き確率をすべて与えることは出来ないが，矛盾する組合わせ や独立性のために，n変数の集合にわたる結合確率を全部記述する必要はない．

例えば，症状 S は原因 C に依存するが，いったん病気 I がわかれば，原因 のことは知る必要がなくなる．

	P(S | C, I) = P(S | I)

ベイズネットワークは，有向非循環グラフ (DAG)であり，各ノードは確率変数を あらわす．

独立性仮説


ベイズネットワークのノード集合を V，ノード v の親を Parents(v), v の子孫を Descendants(v) とあらわす．

ベイズネットワークの構造について，S ⊆ (V - Descendants(v) - {v}) なる任意の S に対して P(v | Parents(v) ∪ S) = P(v | Parents(v)) と仮 定すると以下の性質が成り立つことが知られている．

1. ネットワークにおけるすべての変数に対して，その親に条件付けされた各 ノードの結合確率を規定するだけでよい．

2. 各ノードに対して上のような条件確率の集合を規定すると，これらの確率 は大域的に無矛盾であることが保証される．

3. 各ノードに対する条件確率の集合は，ネットワークにおけるすべてのノー ドの唯一の結合確率分布を規定する．

ベイズネットワークのサブクラス


一般的なベイズネットワークを用いた確率推論は多項式時間では実行で きないことが知られているので，以下では，次のようなサブクラスに 限定する．

1. ネットワークの各ノードは高々一つの入力エッジをもつ．

2. 証拠ノードはすべて境界ノード(入力エッジがないか，出力エッジがない)．

第一番目の制約は強すぎて，このクラスの有用性を損なう．
これに対処するために，以下に述べる手続きを拡張して，多重木(各ノードは2 つ以上の親を持つことはできるが，どのノードの間にも高々一つの経路しか存 在しない)に適用可能にすることができる．

ベイズネットワークの事例


(例)



1. 各ノードの表す確率変数は {True，False}のブール値をとる．

2. トップのノードは，その事前確率を示している．

3. ノード U から ノード V に至るエッジに付けられた 2X2行列は P(V | U) を記述する条件マトリックスで，以下を意味する．

        
        P(V | U)     P(V | ¬U)   
        P(¬V | U)   P(¬V | ¬U)

各ノードの生起確率をベイズの法則に基づいて計算する．

P(Income) = P(Income|Bonus)P(Bonus) + P(Income|¬Bonus)P(¬Bonus)
	= 0.8*0.6 + 0.3*0.4 = 0.6

P(Travel) =  P(Travel|Income)P(Income) + P(Travel|¬Income)P(¬Income)
	= 0.2*0.6 + 0.5*0.4 = 0.32

(ベイズネットワークの各ノードの確率の計算)



ここで，「Airplaneに乗った」という命題が成立することがわかったとする． この新しい事実と，ベイズネットワークとして与えられているモデルを用いて， 各ノードの確率を再計算できる．

P(Travel|Airplane) = P(Airplane|Travel)P(Travel)/P(Airplane)
		 = 0.95*0.32/0.712 ≒ 0.427

「Airplaneに乗った」ことがわかったことにより「Travel = True」の確率 が以前の 0.32 よりも高くなった．

また，「Airplaneに乗ったことが判明した時のIncomeがTrueである確率」
P(Income|Airplane) は，

P(Income|Airplane) = P(Airplane|Income)P(Income)/P(Airplane)
                 = (P(Airplane|Travel)P(Travel|Income))P(Income)/P(Airplane)+
		   (P(Airplane|¬Travel)P(¬Travel|Income))P(Income)/P(Airplane)
	         ≒ (0.95*0.2 + 0.8*0.6)*0.6/0.712 ≒ 0.565

となる．「Airplaneに乗った」ことが分かったことにより「Income = True」の確率が下がっている．

P(Party|Airplane) = P(Party|Income)P(Income|Airplane) +
			P(Party | ¬Income)P(¬Income|Airplane) 
		     ≒ 0.7*0.565 + 0.1*0.435  ≒  0.439

(「Airplane = True」が与えられた時の各ノードの確 率)

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